Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga

AKAR PANGKAT DUA DAN AKAR PANGKAT TIGA

(SUATU PEMBUKTIAN DEDUKSI DAN CONTOH)

(Mendapatkan nilai eksak dari akar pangkat dua dan tiga)

Oleh : Afrizal,S.Pd,M.PMaT
Matematika MTsN Model Kuok

Misalkan kita ingin menentukan nilai dari

akar pangkat dua dari abcd
Karena akar pangkat dua dari (akpd)abcd=akpd{a.10^{4}+b.10^{3}+c.10^{2}+d.10}
Sehingga kita mengupayakan terlebih dahulu :
Misalkan hasilnya ef
ef
ef
— x
g.10(f.e+sisa dari f.f) + h(f.f)
i.10pangkat2(e.e+sisa dari f.e) +j.10(e.f)
————————————– +
(i.10pangkat2+sisa dari g.10)+((g+j)10 + h
dari ini terlihat bahwa e.e nilainya adalah antara 100 dan 10000,
jadi kita mengambil patokan untuk e adalah cukup mengambil ab
sebagai pertimbangan e diprediksi akpd{ab}. Sehingga f diprediksi
sisanya dari ab ditambah cd. Jadi kita beri penggalan untuk akpd{abcd} menjadi akpd{ab.bc}. Untuk lainnya kita penggal
mulai dari kanan kekiri dua-dua, misalnya akpd{pqrst} dipenggal
menjadi akpd{p.qr.st}
selanjutnya misalkan hasilnya e bearti e.10, selanjutnya
e.10.e.10=e^{2}.100 = i.100.(selanjutnya akpd=sqrt)
\sqrt{abcd} dengan hasilnya ef dapat diubah, dengan pertimbangan
:
ef
ef
— x
e.f + f.f
e.e + e.f
——– +
e.e + e.f + e.f + f.f
e.e + 2e.f + f.f
Jadi
sqrt{abcd} = sqrt{e.e + 2.e.f + f.f}
Selanjutnya kita buat ilustrasi :
sqrt{e.e + 2.e.f + f.f} misalkan hasil puluhannya e,
e.e
——————— –
2.e. + f.f

selanjutnya karena tinggal f kita buat formula sehingga
mendapatkan bentuk 2.e.f + f.f=(2.e+f).f=2ef.f
disini dibedakan antara ef dan e.f,
ef artinya penempatan e dan f
e.f artinya e dikali f.
Contoh
sqrt{3945}
sqrt{39.45}, 39 mendekati 36 =6.6
36
——– –
345

selanjunya 2.6 … x … = 12 … x … = 345,

ambil 3
123 x 3 = 369 ada sisa 16 ditambah 0 dua menjadi 1600, hasil tadi 63, 63.2=126
126… x … = 1600
1261 x 1 = 1261, jadi
sqrt{3945}$ = 63,1….
Selanjutnya dengan cara yang sama kita coba

Menentukan nilai dari akar pangkat tiga

Misalkan hasilnya adalah abc
abc.abc.abc = …
abc
abc
0+0+a.c + b.c + c.c
0+a.b + b.b + b.c
a.a + a.b + a.c
—————- +
a.a + 2(a.b + a.c + bc) + b.b + a.c + c.c
abc
—– x
a.a.a + 2(a.a.b + a.a.c + a.b.c) + a.b.b + a.a.c +a.c.c+ a.a.b +
2(a.b.b + a.b.c + b.b.c) + b.b.b + a.b.c + b.c.c + a.a.c + 2 (a.b.c
+ a.c.c + b.c.c) +
b.b.c + a.c.c + c.c.c =
a.a.a + 3a.a.b + 4a.a.c + 6a.b.c + 3a.b.b + 3b.b.c + b.b.b + 4a.c.c
+3b.c.c + c.c.c
Jadi kita sama saja menentukan :
sqrt[3]{a.a.a + 3a.a.b + 4a.a.c + 6a.b.c + 3a.b.b + 3b.b.c + b.b.b
+ 4a.c.c +3b.c.c + c.c.c}
atau mudahnya kita ambil hasilnya ab saja
ab
ab
— x
0+a.b + b.b
a.a + a.b
————- +
a.a + 2a.b + b.b=
ab
—- x
a.a.a + 2a.a.b + a.b.b + a.a.b + 2a.b.b + b.b.b
sqrt[3]{a.a.a + 2a.a.b + a.b.b + a.b.b + 2a.b.b + b.b.b}
misalkan hasilnya a
a.a.a
——————————- –
3a.a.b + 3a.b.b  + b.b.b=
(3a.a +3a.b + b.b).b=
(3a^{2} + (3a+b).b).b
(300a^{2}+3ab.b).b
Contoh
sqrt[3]{45689}
sqrt[3]{45.689}, 45 mendekati 3.3.3 =27
27
—- –
18689
selanjutnya,
(300x3x3 + 96×6)x6= 19656
coba 5
(300x3x3 + 95×5)x5= 15875
18686
15875
——- –
2811, turun nol 3 menjadi
2811000
ambil 7
(300x35x35 +4×35 7 x 7)x7=2641422
Jadi
sqrt[3]{45689=35,7…