Luas Daerah DiBawah Kurva

Luas Daerah Dibawah Kurva atau Fungsi

Oleh : Afrizal,M.PMat
Matematika MAN Kampar

Titik Ekstrim

Kita tahu bahwa turunan atau kecepatan sesaat atau kecepatan
rata-rata tidak lain adalah merupakan gradien.

Perhatikan defenisi berikut
Andaikan S, daerah asal f, mengandung titik c, kita katakan bahwa :
a. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) lebih atau sama dengan f(x) untuk
semua x di S.
b. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) kurang atau sama dengan f(x)
untuk semua x di S.
c. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai
maksimum atau nilai minimum.

Dari defenisi tersebut andaikan f(c) bukan merupakan tititk ujung, maka
f'(c) lebih atau sama dengan 0 dan f'(c) kurang atau sama dengan 0 didapatkan f'(c)=0
sehingga kita bisa buat sebuah teorema :

Teorema nilai antara
Suatu fungsi f terdeferensial pada S, dan c bagian dari S, dan f(c)
bukan pada ujung maka terdapat f'(c)=0

Dengan kata lain
Suatu fungsi f terdefenisial pada S, dan nilai fungsi dari batas
bawah dan batas atas pada S sama maka terdapat f'(c)=0

Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan

Misalkan dua fungsi f(x) dan g(x) saling berpotongan pada (a,f(a))
dan (b,f(b)).

Pada fungsi g(x) kita bisa dapatkan gradien
g(x)-f(a)={{f(b)-f(a)}/(b-a)}(x-a)
akan menghasilkan
s(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(a)-{{f(b)-f(a)}/(b-a)}(x-a)
Karena s(x)=f(x)-g(x), diperoleh s(a)=s(b)=0, menurut teorema nilai
antara terdapat c pada interval tertutup a dan b sehingga
s'(c)=0 . Dan
s'(x)=f'(x)-{f(b)-f(a)}/(b-a)
s'(c)=f'(c)-{f(b)-f(a)}/(b-a), s'(c)=0
f'(c)={f(b)-f(a)}/(b-a)
Persamaan terakhir sering dikatakan dengan teorema nilai rata-rata
untuk turunan

Teorema nilai rata-rata
Jika f kontinu pada selang tutup [a,b] dan terdefenisi pada
titik-titik dalam (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan
c sehingga dalam (a,b) dengan
f'(c)={f(b)-f(a)}/(b-a)

Pengertian integral
Integral tidak lain didefenisikan dengan anti turunan atau kebalikan
turunan disebut dengan integral

Luas daerah dibawah kurva

Misalkan kurva atau fungsi pada gambar diatas adalah fungsi f'(x),
dengan luas dibawah kurva dibawah dengan batas dari a sampai
dengan b. Selanjutnya interval a dan b dibagi beberapa bagian.

Dengan bantuan teorema nilai rata-rata, didapatkan Luas = integral f'(x) dengan batas a dan b = f(b)-f(a)

afrizal.mr@gmail.com

Dipublikasi di Integral | Meninggalkan komentar

Olimpiade matematika smp kabupaten/kota

OLIMPIADE SAIN NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN KOTA DAN PROPINSI

BIDANG STUDI MATEMATIKA

Waktu : 150 menit

Soal Pilihan Ganda (20 soal)
Soal Isian Singkat (10 soal)

1. Garis l melalui titik (-4,-3) dan (3,4). Jika garis l juga melalui titik (a,b), maka nilai a^3-b^3-3a^2b+3ab^2-3^3=…
a. 23
b. 1
c. -1
d. -28
e. -31

Penyelesaian

gradien garis l adalah 4+3/3+4=1
sehingga b-4/a-3 =1 maka b-4 = a-3 atau b-a=1
a^3-b^3-3a^2b+3ab^2-3^3 = (a-b)^3-3^3=-1^3-27=-1-27=-28
Kunci D.

2. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut {1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19}, maka suku tengah kelompok ke-11 adalah …
a. 21
b. 31
c. 61
d. 111
e. 121

Penyelesaian

misal barisan bilangan ganjil 2n-1,
dan kelompok ke-11 ada 11 buah anggota
suku tenganya adalah anggota ke 6 setelah diurutkan dari kecil ke besar
jadi barisan bilangan ganjilnya adalah suku ke-
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+6=61
bilangannya adalah 2.61-1=122-1 =121
Kunci E

silakan diteliti lagi

afrizal.mr@gmail.com

Dipublikasi di Olimpiade Matematika | Meninggalkan komentar

Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga

AKAR PANGKAT DUA DAN AKAR PANGKAT TIGA

(SUATU PEMBUKTIAN DEDUKSI DAN CONTOH)

(Mendapatkan nilai eksak dari akar pangkat dua dan tiga)

Oleh : Afrizal,S.Pd,M.PMaT
Matematika MTsN Model Kuok

Misalkan kita ingin menentukan nilai dari

akar pangkat dua dari abcd
Karena akar pangkat dua dari (akpd)abcd=akpd{a.10^{4}+b.10^{3}+c.10^{2}+d.10}
Sehingga kita mengupayakan terlebih dahulu :
Misalkan hasilnya ef
ef
ef
— x
g.10(f.e+sisa dari f.f) + h(f.f)
i.10pangkat2(e.e+sisa dari f.e) +j.10(e.f)
————————————– +
(i.10pangkat2+sisa dari g.10)+((g+j)10 + h
dari ini terlihat bahwa e.e nilainya adalah antara 100 dan 10000,
jadi kita mengambil patokan untuk e adalah cukup mengambil ab
sebagai pertimbangan e diprediksi akpd{ab}. Sehingga f diprediksi
sisanya dari ab ditambah cd. Jadi kita beri penggalan untuk akpd{abcd} menjadi akpd{ab.bc}. Untuk lainnya kita penggal
mulai dari kanan kekiri dua-dua, misalnya akpd{pqrst} dipenggal
menjadi akpd{p.qr.st}
selanjutnya misalkan hasilnya e bearti e.10, selanjutnya
e.10.e.10=e^{2}.100 = i.100.(selanjutnya akpd=sqrt)
\sqrt{abcd} dengan hasilnya ef dapat diubah, dengan pertimbangan
:
ef
ef
— x
e.f + f.f
e.e + e.f
——– +
e.e + e.f + e.f + f.f
e.e + 2e.f + f.f
Jadi
sqrt{abcd} = sqrt{e.e + 2.e.f + f.f}
Selanjutnya kita buat ilustrasi :
sqrt{e.e + 2.e.f + f.f} misalkan hasil puluhannya e,
e.e
——————— –
2.e. + f.f

selanjutnya karena tinggal f kita buat formula sehingga
mendapatkan bentuk 2.e.f + f.f=(2.e+f).f=2ef.f
disini dibedakan antara ef dan e.f,
ef artinya penempatan e dan f
e.f artinya e dikali f.
Contoh
sqrt{3945}
sqrt{39.45}, 39 mendekati 36 =6.6
36
——– –
345

selanjunya 2.6 … x … = 12 … x … = 345,

ambil 3
123 x 3 = 369 ada sisa 16 ditambah 0 dua menjadi 1600, hasil tadi 63, 63.2=126
126… x … = 1600
1261 x 1 = 1261, jadi
sqrt{3945}$ = 63,1….
Selanjutnya dengan cara yang sama kita coba

Menentukan nilai dari akar pangkat tiga

Misalkan hasilnya adalah abc
abc.abc.abc = …
abc
abc
0+0+a.c + b.c + c.c
0+a.b + b.b + b.c
a.a + a.b + a.c
—————- +
a.a + 2(a.b + a.c + bc) + b.b + a.c + c.c
abc
—– x
a.a.a + 2(a.a.b + a.a.c + a.b.c) + a.b.b + a.a.c +a.c.c+ a.a.b +
2(a.b.b + a.b.c + b.b.c) + b.b.b + a.b.c + b.c.c + a.a.c + 2 (a.b.c
+ a.c.c + b.c.c) +
b.b.c + a.c.c + c.c.c =
a.a.a + 3a.a.b + 4a.a.c + 6a.b.c + 3a.b.b + 3b.b.c + b.b.b + 4a.c.c
+3b.c.c + c.c.c
Jadi kita sama saja menentukan :
sqrt[3]{a.a.a + 3a.a.b + 4a.a.c + 6a.b.c + 3a.b.b + 3b.b.c + b.b.b
+ 4a.c.c +3b.c.c + c.c.c}
atau mudahnya kita ambil hasilnya ab saja
ab
ab
— x
0+a.b + b.b
a.a + a.b
————- +
a.a + 2a.b + b.b=
ab
—- x
a.a.a + 2a.a.b + a.b.b + a.a.b + 2a.b.b + b.b.b
sqrt[3]{a.a.a + 2a.a.b + a.b.b + a.b.b + 2a.b.b + b.b.b}
misalkan hasilnya a
a.a.a
——————————- –
3a.a.b + 3a.b.b  + b.b.b=
(3a.a +3a.b + b.b).b=
(3a^{2} + (3a+b).b).b
(300a^{2}+3ab.b).b
Contoh
sqrt[3]{45689}
sqrt[3]{45.689}, 45 mendekati 3.3.3 =27
27
—- –
18689
selanjutnya,
(300x3x3 + 96×6)x6= 19656
coba 5
(300x3x3 + 95×5)x5= 15875
18686
15875
——- –
2811, turun nol 3 menjadi
2811000
ambil 7
(300x35x35 +4×35 7 x 7)x7=2641422
Jadi
sqrt[3]{45689=35,7…

Dipublikasi di Akar pangkat tiga | Meninggalkan komentar

Penyelesaian OSN Matematika 2009

OSN TINGKAT NASIONAL MAPEL MATEMATIKA 2009

DIREKTORAT PEMBINAAN SMP

(Penyelesaian Soal  Hari Pertama)

Oleh : Afrizal,S.Pd,M.PMat

Matematika MTsN Model Kuok

HARI PERTAMA

1. Dua  persamaan kuadrat memiliki  akar-akar bilangan  asli.   Persamaan kuadrat yang pertama memiliki akar-akar a dan b, sedangkan persamaan kuadrat yang  kedua  memiliki  akar-akar b  dan  c , c tidak sama dengan  a  .   Jika a,  b,  dan  c merupakan  bilangan-bilangan prima  kurang  dari  15, ada  berapa  macam  pasangan persamaan kuadrat yang mungkin  memenuhi  persyaratan di atas?

Penyelesaian

Persamaan kuadrat pertama adalah  (x − a)(x  − c) = x2  + (a + c)x + ac

dan persamaan kuadrat kedua  adalah  (x − b)(x − c) = x2  + (b + c)x + bc,

a,b,  c bilangan  prima  < 15 = {2,3,5,7,11,13}

x1  + x2  = −a − c

x3  + x4  = −b − c

x1 .x2  = ac

x3 .x4  = bc

No. x1  = a x2  = b = x3 x4  = c

1.

2.

3.

4.

4.

.

.

.

2

2

2

2

2

.

.

.

2

2

2

2

2

.

.

.

3

5

7

11

13

.

.

.

Misalkan  a diisi dengan  tempat pertama, maka  tempat pertama ada 6,

b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada 6

c didisi oleh tempat ketiga,  maka  tempat ketiga  ada 5 sebab a = c

Jadi  banyaknya pasangan kuadrat yang mungkin  dibuat adalah  :

tempat pertama x tempat kedua  x tempat ketiga

= 6 x 6 x 5 = 180 buah.

2. Di Indonesia,  dahulu  dikenal  pecahan  yang disebut  Pecahan Nusantara.

Pecahan Nusantara  adalah   pecahan   yang  berbentuk  a/b ,  a  dan  b  bilangan-

bilangan  asli,  a  < b .  Tentukan jumlah  semua  Pecahan Nusantara dengan  b

mulai dari 2 sampai  dengan  1000.

Penyelesaian

Bilangan  asli 1, 2, 3, …

akan  dibuat a , dengan  a < b, dan

a = 1 atau  2 atau  3 atau  4 atau  …  atau  1000,

b = 2 atau  3 atau  4 atau  …  atau  1000

No. a b

1.

2.

.

.

.

1

1

.

.

.

2

3

Misalkan  a diisi dengan  tempat pertama, maka  tempat pertama ada  999 sebab a < b

untuk  a = 1, b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada  999 sebab a < b

untuk  a = 2, b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada  998 sebab a < b

.

.

.

untuk  a = 999, b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada  1 sebab a < b

Jadi

Banyaknya pecahan  nusantara adalah

999 + 998 + …  + 1

Untuk  menjumlahkan ini kita  buat

999 + 998 + …  + 1

1 + 2 + …  +999

—————————– +

1000 + 1000 + …  + 1000, (sebanyak 999 buah  1000 nya)

Jadi

999 + 998 + …  + 1 = (1000 x 999) : 2 = 500 x 999 = 500000- 500= 499500buah

Keterangan :

jumlah  semua pecahan  maksud  soal di artikan disini banyaknya pecahan.

3. Perhatikan gambar  berikut. Huruf-huruf a, b, c, d, dan e di dalam  kotak akan  diganti  dengan  bilangan  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau  9.  Bila bilangan  yang menggantikan a, b,c, d, dan e harus berlainan dan ae = bd, ada berapa  susunan yang mungkin  terjadi?

Penyelesaian

Bialngan  yang di pakai  sebagai pengganti  a,b, c, d, e, adalah

1,2,3,4,5,6,7,8,9

No. a e b d c

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

10.

11.

15.

16.

20.

21.

25.

26.

30.

31.

35.

36.

40.

1

1

1

1

1

2

2

3

3

3

4

6

6

6

8

6

8

9

4

6

8

6

2

2

2

2

2

3

3

2

2

4

3

3

3

3

4

4

4

6

6

9

6

8

4

5

9

3

9

1

1

1

1

1

1

Karena  susunan  a,  e berbeda  dengan  e,  a  dan  b,  d  berbeda  dengan  d,  b  ,

maka  banyak  susunan dikali  2 x 2 = 4 dengan  jumlah  susunan  pada  tabel, jadi banyak  susunan  yang dapat dibuat adalah:

40 x 4 = 160 susunan

karena posisi ae tidak sama dengan bd maka ada

160 x 2 = 320 susunan

silakan  diteliti  lagi !

4. Diketahui segitiga ABC dengan  titik A sebagai puncak  dan sisi BC seba- gai alas.  Titik  P terletak pada sisi CA. Dari titik  A ditarik  garis sejajar PB dan memotong  perpanjangan alas di titik  D. Titik  E terletak pada alas sehingga CE: ED = 2 : 3. Jika F adalah  titik  tengah  antara E dan C dan luas segitiga ABC sama dengan  35 cm2, berapakah luas segitiga PEF?

Penyelesaian

Dapat  dibuat gambar

Luas segitiga ABC 35 cm kuadrat  artinya tingginya  sama dengan  tinggi pada  segitiga

DCA dan misalkan  alas segitiga ABC adalah a

dan  karena  CE  : ED = 2:  3, maka  BD = 2/5. a dan  luas segitiga

DCA= 1/2 a.t  + 2/5.1/2a.t = 35 +2/5 .35 = 49.

Karena  AD // PB maka segitiga BCP sebangun  dengan segitiga DCA (sd,sd,sd)

Sedangkan  luas segitiga PEF  = 1.5/10 .a1 1.5/10 t1 =   9/400 .a1 t1 = 9/200 .1/2.a1.t1= 9/200.49=441/200= 2, 205 cm2

5. Setiap sisi suatu  kubus dituliskan sebuah bilangan  asli.  Setiap titik  sudutnya diberi  nilai  yang  merupakan hasil  kali  dari  tiga  bilangan  pada  tiga  sisi yang berpotongan di titik  sudut  tersebut.  Jika  jumlah  semua  bilangan  pada  titik- titik  sudut tersebut sama  dengan  1001, tentukan jumlah  semua  bilangan  yang dituliskan pada  sisi-sisi kubus  tersebut.

Penyelesaian

Misalkan  sisi kubus  s1,  s2,  s3,  s4,  s5,  s6 dan  titik  sudut  adalah  t1,  t2,  …, t8

Kita  buat  gambar

sehingga

t1 = s1 x s4 x s5

t2 = s1 x s2 x s5

t3= s2 x s3 x s5

t4 = s3xs4xs5

t5 = s1s4s6

t6= s1s2s6

t7 = s2s3s6

t8 = s3s4s6

———————– +

t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 =

s1s4s5 + s1s2s5 + …  + s3s4s6 =

s1(s4s5 + s2s5 + s4s6 + s2s6) + s2(s3s5 +s3s6) + s3(s4s5 + s4s6)=1001

s1(s2(s5+s6)+s4(s5+s6)) + s2(s3(s5+s6))+

s3(s4(s5+s6))

= s1(s2+s4)(s5+s6)+s3(s2+s4)(s4+s6)

= (s1+s3)(s5+s6)(s2+s4)=1001

ambil

s1+s3 = 7

maka

s5+s6 = 13

dan s2 + s4 = 11

Jadi  jumlah semua bilangan yang ditulis pada sisi- sisi kubus adalah  :

s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 = 7 + 13 +11 = 31

email :

afrizal.mr@gmail.com

Dipublikasi di Olimpiade Matematika | 2 Komentar

Soal Olimpiade Matematika OSN 2009

HARI PERTAMA

1.   Dua persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli. Persamaan kuadrat  yang pertama memiliki akar-akar  a dan b, sedangkan persamaan kuadrat yang kedua memiliki akar-akar b dan c , c a . Jika a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan prima kurang dari 15, ada berapa macam pasangan persamaan kuadrat yang mungkin memenuhi persyaratan di atas?

2.   Di Indonesia, dahulu dikenal pecahan yang disebut Pecahan Nusantara.

Pecahan Nusantara adalah pecahan yang berbentuk  a/b , a dan b bilangan-bilangan

asli,  a < b . Tentukan jumlah semua Pecahan Nusantara dengan b mulai dari 2 sampai dengan 1000.

3.   Perhatikan gambar berikut. Huruf-huruf a, b, c, d, dan e di dalam kotak akan diganti dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9. Bila bilangan yang menggantikan  a, b,c,d, dan e harus berlainan dan  ae = bd, ada berapa susunan yang mungkin terjadi?

a b
c
d e

4.   Diketahui segitiga ABC dengan titik A sebagai puncak dan sisi BC sebagai alas. Titik P terletak pada sisi CA. Dari titik A ditarik garis sejajar PB dan memotong  per- panjangan alas di titik D. Titik E terletak pada alas sehingga CE : ED = 2 : 3. Jika F adalah  titik tengah antara E dan C dan luas segitiga ABC sama dengan 35 cm2, berapakah  luas  segitiga PEF?

5.   Setiap sisi suatu kubus dituliskan sebuah bilangan asli. Setiap titik sudutnya diberi nilai yang merupakan hasil kali dari tiga bilangan pada tiga sisi yang berpotongan di titik sudut tersebut. Jika jumlah  semua bilangan pada titik-titik sudut tersebut sama dengan 1001, tentukan jumlah semua bilangan yang dituliskan pada sisi-sisi kubus tersebut.

HARI  KEDUA

6.   Suatu nomor telepon dengan 7 angka disebut Nomor Cantik bilamana angka-angka yang muncul pada tiga angka pertama (ketiga angkanya harus berbeda) berulang pada tiga angka berikutnya atau tiga angka terakhirnya. Contoh beberapa Nomor Cantik:  7133719, 7131735, 7130713, 1739317,  5433354. Jika angka-angkanya diambil dari  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  atau 9, tetapi angka pertama tidak boleh 0, berapakah banyak Nomor Cantik yang bisa diperoleh.

7.      Tentukan banyak bilangan asli n sehingga n pangkat 3  + 100 habis dibagi oleh n + 10 .

8.   Suatu fungsi  f didefinisikan seperti pada tabel berikut.

x 1 2 3 4 5
f ( x ) 5 3 1 2 4

Berdasarkan definisi fungsi  f di atas, selanjutnya didefinisikan suatu barisan

bilangan  dengan rumus umum suku-sukunya sebagai berikut.

u1  = 2

dan un+1  = f (un ) , untuk n = 1,2, 3,…

Tentukan jumlah 2009  suku pertama dari barisan tersebut!

9.   Pada suatu segitiga ABC, titik D terletak pada sisi AB dan titik E terletak pada sisi

Luas ADE AD × AE

AC. Tunjukkan bahwa

luas ADE : luas ABC = AD x AE : AB x AC

10. Pada turnamen catur, seorang pemain hanya bermain satu kali dengan pemain

lainnya. Seorang pemain memperoleh nilai 1 jika menang, 0 jika kalah, dan   1/2 jika

imbang.  Setelah kompetisi berakhir, diketahui bahwa   1/2 total nilai yang diperoleh

oleh setiap pemain didapatkan dari bermain dengan 10 pemain yang mendapatkan total poin terendah.

Khusus untuk yang berada di peringkat sepuluh terbawah,

1/2 total poin yang diperolehnya didapatkan dari bermain dengan 9 pemain lainnya.

Berapakah banyak pemain dalam kompetisi tersebut?



Dipublikasi di Olimpiade Matematika | Meninggalkan komentar

Pembelajaran Matematika Dengan Pendekatan Induksi Matematika

PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN INDUKSI MATEMATIKA

Oleh : Afrizal,S.Pd,M.PMat

Sebuah deskripsi singkat

Matematika adalah  ilmu yang deduktif  dan  abstrak. Untuk  pembelajaran disekolah  seyokyanya pembelajaran matematika  tidak  semuanya  dilakukan  dengan deduksi  dan konteks  abstrak, tetapi bisa dimulai  dengan  kongkrit  atau pun melalui pendekatan induksi.

Sebenarnya pendekatan dengan induksi pun merupakan mengarah ke deduksi.  Pembelajaran dengan pendekatan induksi yang diberikan  kepada  peserta didik tidak  berbeda  dengan  kita  memberikan pendekatan sebuah  hubungan recurren  (hubungan sesudah  dari  sebelumnya).  Walaupun pendekatan induksi lebih mudah  dari deduksi tetapi perlu ditekankan bahwa  pendekatan ini bukan hanya semata-mata dugaan(conjekjur).  Sehingga peserta  didik tidak  mendapatkan  sebuah  asumsi tentang matematika adalah  merupakan ilmu yang bersifat menduga(conjekjur) saja.   Untuk  itu  dalam pembelajaran matematika dengan pendekatan induksi  tidak  terlepas  dari relasi recurren.

Sebagai contoh pada pembelajaran himpunan, misalnya menentukan banyaknya himpunan bagian, seperti tabel  berikut

Banyak anggota himpunan

1

2

3

4

.

.

.

n

Banyak himpunan bagian

2

4

8

16

.

.

.

Bentuk lain

2 pangkat 1

2 pangkat 2

2 pangkat 3

2 pangkat 4

.

.

.

Dari  tabel  ini kita mungkin lansung  memberikan pada  peserta  didik  bahwa  banyaknya himpunan bagian  dengan  n anggota  adalah  2 pangkat n ataupun peserta  didik menduga ini.   Mengingat  bahwa  matematika itu  deduksi,  maka  secara  deduksi  ini bisa benar  atau  bisa  salah.   Untuk  itu  perlu  yang  dinamakan relasi  recurren  yang juga merupakan induksi  matematika.

Permasalahan ini bisa dijumpai  di ”Langkah  awal menuju  ke olimpiade matematika  oleh : wono setia budi halaman  61”.

Dipublikasi di Induksi Matematika | Meninggalkan komentar

Kesebangunan Segitiga

SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN

Pendekatan

Pemahaman Konsep dan Matematika Realistik.

Misalkan  diketahui dua segitiga  segitiga ABC dan segitiga PQR dengan

ketiga  sudut yang bersesuaian  sama besar yaitu ;

∠A = ∠P

∠B = ∠Q

∠C = ∠R

dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni ;

AB/PQ  = BC/QR = AC/PR

Maka kedua  segitiga tersebut dikatakan sebangun ditulis  ” segitiga ABC ∼ segitigaPQR ”, atau sebaliknya

Theorema

Jika  dua buah  segitiga diketahui dua sudut  yang bersesuaian sama besar maka kedua  segitiga tersebut sebangun.

Bukti:

Misal diketahui segitiga ABC dan segitiga PQR dan

∠A = ∠P

∠B = ∠Q

Pertama akan  ditunjukkan

∠C = ∠R

dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni;

AB/PQ  = BC/QR = AC/PR

Pertama akan  ditunjukkan

∠C = ∠R

Karena  jumlah  sudut-sudut pada  segitiga adalah  180

maka,  ∠C = 180  − (∠A + ∠B) = 180 − (∠P + ∠Q) = ∠R

∴ ∠C = ∠R

Berikut akan  ditunjukkan

perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni;

AB/PQ  = BC/QR = AC/PR

Sebagai Ilustrasi  perhatikan gambar

Karena  ∠A = ∠P maka garis k//l (sifat  kesejajaran dua buah  garis yang dipotong oleh sebuah  garis).

Begitu  juga  ∠B = ∠Q dan  ∠C = ∠R, sehingga  membentuk gambar  seperti pada  gambar  diatas.

Berikutnya akan  ditunjukkan bahwa  perbandingan sisi-sisi  yang  bersesuaian sama.

Misalkan  AC = b dan  PQ  = b ± m (asumsikan m positif,  andaikan negatif

maka  yang dimisalkan  adalah  PQ).

jadi PQ  = b + m,

Andaikan   m  tidak   habis  dibagi  b,  (jika  habis  dibagi  kita  tinggal  membuat segitiga-segitiga  seperti  pada  gambar  diatas).

jadi  kita  membuat PQ  menjadi  beberapa  bagian  misalnya  PQ  dibagi  menjadi bm + mm ( m habis dibagi oleh bm dan mm).

Jadi  kita  dapat membentuk segitiga-segitiga  kecil dengan  panjang  salah  satu sisinya adalah  bm + mm bagian/satuan panjang,  seperti  gambar  dibawah  ini

Kita  bisa  membuat A’B’//P ‘ Q’ ,  andaikan tidak  dapat dibuat sejajar  artinya ketiga sudutnya yang bersesuaian  dari kedua segitiga, segtiga ABC dan segitiga P QR tidak sama besar (bertentangan dengan  yang diketahui).

Sehingga segitiga AB’ A’  konggruen  dengan  segitigaP Q’ P ‘  (sd,s,sd).

Akibatnya PR  dan QR juga dibagi menjadi  bm + mm bagian.

Dengan  AB, AC, dan BC dibagi menjadi  bm bagian.

Misalkan  panjang  PP’ = r maka  panjang  AB = bm.r  dan PQ  = (bm + mm).r

Sehingga

AB/P Q = bmr/ (bm+mm)r = b/b+m

misalkan  pula  panjang  Q’P’  = p maka  panjang  BC = bm.p  dan  QR = (bm  + mm).p

BC/QR =  bmp/ (bm+mm)p = b/b+m

Dengan cara yang sama didapatkan juga  AC /PR =  b/b+m

Jadi

AB/PQ = BC/RQ = AC/PR = b/b+m. Bukti selesai.

Dipublikasi di Kesebangunan Segitiga | Meninggalkan komentar