Penyelesaian OSN Matematika 2009

OSN TINGKAT NASIONAL MAPEL MATEMATIKA 2009

DIREKTORAT PEMBINAAN SMP

(Penyelesaian Soal  Hari Pertama)

Oleh : Afrizal,S.Pd,M.PMat

Matematika MTsN Model Kuok

HARI PERTAMA

1. Dua  persamaan kuadrat memiliki  akar-akar bilangan  asli.   Persamaan kuadrat yang pertama memiliki akar-akar a dan b, sedangkan persamaan kuadrat yang  kedua  memiliki  akar-akar b  dan  c , c tidak sama dengan  a  .   Jika a,  b,  dan  c merupakan  bilangan-bilangan prima  kurang  dari  15, ada  berapa  macam  pasangan persamaan kuadrat yang mungkin  memenuhi  persyaratan di atas?

Penyelesaian

Persamaan kuadrat pertama adalah  (x − a)(x  − c) = x2  + (a + c)x + ac

dan persamaan kuadrat kedua  adalah  (x − b)(x − c) = x2  + (b + c)x + bc,

a,b,  c bilangan  prima  < 15 = {2,3,5,7,11,13}

x1  + x2  = −a − c

x3  + x4  = −b − c

x1 .x2  = ac

x3 .x4  = bc

No. x1  = a x2  = b = x3 x4  = c

1.

2.

3.

4.

4.

.

.

.

2

2

2

2

2

.

.

.

2

2

2

2

2

.

.

.

3

5

7

11

13

.

.

.

Misalkan  a diisi dengan  tempat pertama, maka  tempat pertama ada 6,

b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada 6

c didisi oleh tempat ketiga,  maka  tempat ketiga  ada 5 sebab a = c

Jadi  banyaknya pasangan kuadrat yang mungkin  dibuat adalah  :

tempat pertama x tempat kedua  x tempat ketiga

= 6 x 6 x 5 = 180 buah.

2. Di Indonesia,  dahulu  dikenal  pecahan  yang disebut  Pecahan Nusantara.

Pecahan Nusantara  adalah   pecahan   yang  berbentuk  a/b ,  a  dan  b  bilangan-

bilangan  asli,  a  < b .  Tentukan jumlah  semua  Pecahan Nusantara dengan  b

mulai dari 2 sampai  dengan  1000.

Penyelesaian

Bilangan  asli 1, 2, 3, …

akan  dibuat a , dengan  a < b, dan

a = 1 atau  2 atau  3 atau  4 atau  …  atau  1000,

b = 2 atau  3 atau  4 atau  …  atau  1000

No. a b

1.

2.

.

.

.

1

1

.

.

.

2

3

Misalkan  a diisi dengan  tempat pertama, maka  tempat pertama ada  999 sebab a < b

untuk  a = 1, b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada  999 sebab a < b

untuk  a = 2, b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada  998 sebab a < b

.

.

.

untuk  a = 999, b diisi dengan  tempat kedua,  maka  tempat kedua  ada  1 sebab a < b

Jadi

Banyaknya pecahan  nusantara adalah

999 + 998 + …  + 1

Untuk  menjumlahkan ini kita  buat

999 + 998 + …  + 1

1 + 2 + …  +999

—————————– +

1000 + 1000 + …  + 1000, (sebanyak 999 buah  1000 nya)

Jadi

999 + 998 + …  + 1 = (1000 x 999) : 2 = 500 x 999 = 500000- 500= 499500buah

Keterangan :

jumlah  semua pecahan  maksud  soal di artikan disini banyaknya pecahan.

3. Perhatikan gambar  berikut. Huruf-huruf a, b, c, d, dan e di dalam  kotak akan  diganti  dengan  bilangan  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau  9.  Bila bilangan  yang menggantikan a, b,c, d, dan e harus berlainan dan ae = bd, ada berapa  susunan yang mungkin  terjadi?

Penyelesaian

Bialngan  yang di pakai  sebagai pengganti  a,b, c, d, e, adalah

1,2,3,4,5,6,7,8,9

No. a e b d c

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

10.

11.

15.

16.

20.

21.

25.

26.

30.

31.

35.

36.

40.

1

1

1

1

1

2

2

3

3

3

4

6

6

6

8

6

8

9

4

6

8

6

2

2

2

2

2

3

3

2

2

4

3

3

3

3

4

4

4

6

6

9

6

8

4

5

9

3

9

1

1

1

1

1

1

Karena  susunan  a,  e berbeda  dengan  e,  a  dan  b,  d  berbeda  dengan  d,  b  ,

maka  banyak  susunan dikali  2 x 2 = 4 dengan  jumlah  susunan  pada  tabel, jadi banyak  susunan  yang dapat dibuat adalah:

40 x 4 = 160 susunan

karena posisi ae tidak sama dengan bd maka ada

160 x 2 = 320 susunan

silakan  diteliti  lagi !

4. Diketahui segitiga ABC dengan  titik A sebagai puncak  dan sisi BC seba- gai alas.  Titik  P terletak pada sisi CA. Dari titik  A ditarik  garis sejajar PB dan memotong  perpanjangan alas di titik  D. Titik  E terletak pada alas sehingga CE: ED = 2 : 3. Jika F adalah  titik  tengah  antara E dan C dan luas segitiga ABC sama dengan  35 cm2, berapakah luas segitiga PEF?

Penyelesaian

Dapat  dibuat gambar

Luas segitiga ABC 35 cm kuadrat  artinya tingginya  sama dengan  tinggi pada  segitiga

DCA dan misalkan  alas segitiga ABC adalah a

dan  karena  CE  : ED = 2:  3, maka  BD = 2/5. a dan  luas segitiga

DCA= 1/2 a.t  + 2/5.1/2a.t = 35 +2/5 .35 = 49.

Karena  AD // PB maka segitiga BCP sebangun  dengan segitiga DCA (sd,sd,sd)

Sedangkan  luas segitiga PEF  = 1.5/10 .a1 1.5/10 t1 =   9/400 .a1 t1 = 9/200 .1/2.a1.t1= 9/200.49=441/200= 2, 205 cm2

5. Setiap sisi suatu  kubus dituliskan sebuah bilangan  asli.  Setiap titik  sudutnya diberi  nilai  yang  merupakan hasil  kali  dari  tiga  bilangan  pada  tiga  sisi yang berpotongan di titik  sudut  tersebut.  Jika  jumlah  semua  bilangan  pada  titik- titik  sudut tersebut sama  dengan  1001, tentukan jumlah  semua  bilangan  yang dituliskan pada  sisi-sisi kubus  tersebut.

Penyelesaian

Misalkan  sisi kubus  s1,  s2,  s3,  s4,  s5,  s6 dan  titik  sudut  adalah  t1,  t2,  …, t8

Kita  buat  gambar

sehingga

t1 = s1 x s4 x s5

t2 = s1 x s2 x s5

t3= s2 x s3 x s5

t4 = s3xs4xs5

t5 = s1s4s6

t6= s1s2s6

t7 = s2s3s6

t8 = s3s4s6

———————– +

t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 =

s1s4s5 + s1s2s5 + …  + s3s4s6 =

s1(s4s5 + s2s5 + s4s6 + s2s6) + s2(s3s5 +s3s6) + s3(s4s5 + s4s6)=1001

s1(s2(s5+s6)+s4(s5+s6)) + s2(s3(s5+s6))+

s3(s4(s5+s6))

= s1(s2+s4)(s5+s6)+s3(s2+s4)(s4+s6)

= (s1+s3)(s5+s6)(s2+s4)=1001

ambil

s1+s3 = 7

maka

s5+s6 = 13

dan s2 + s4 = 11

Jadi  jumlah semua bilangan yang ditulis pada sisi- sisi kubus adalah  :

s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 = 7 + 13 +11 = 31

email :

afrizal.mr@gmail.com

Tentang afrizal mr

guru matematika mtsn model kuok bangkinang riau
Pos ini dipublikasikan di Olimpiade Matematika. Tandai permalink.

2 Balasan ke Penyelesaian OSN Matematika 2009

  1. Roby berkata:

    Pak , ssah ngerti yang no 2 tu
    jlsin dsklah pak , lw dtlsan ssah dmngrti

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s